题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求a_n的通项公式；
（3）对于n∈N^*有 $数学公式$ ＜ $数学公式$ =2（ $数学公式$ - $数学公式$ ），证明： $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜ $数学公式$ （n≥1）

（1）解：∵a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2），∴a₂=2，a₃=4，
（2）解：由（1）猜想a_n=2^n-1；
证明如下：当n=1时，成立
假设当n=k时，成立，即a_k=2^k-1，
∵a_n+1+a_n=3•2^n-1，∴a_k+1=a_k+3•2^k-1=2^k，
∴n=k+1时，结论成立
综上，a_n=2^n-1；
（3）证明：∵2ⁿ⁺¹＞2ⁿ⁺¹-1，∴ $\text{[math]}$ ＞1，
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
＜1+2（ $\text{[math]}$ ）+…+2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
分析：（1）利用a₁=1，a_n+1+a_n=3•2^n-1（n≥2），代入计算，可得a₂，a₃；
（2）先猜想，再利用数学归纳法进行证明；
（3）先证明 $\text{[math]}$ ＞1，可得 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），再利用放缩法可得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题能力，属于中档题．