Question

函数f（x）=ax（x-2）²（a≠0）有极大值，则a等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：利用导数分a＞0，a＜0两种情况求得f（x）的极大值，使其等于，解此方程即可求得a值．
解答：解：f′（x）=a（x-2）（3x-2），
（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞2；由f′（x）＜0得＜x＜2，
所以f（x）在（-∞，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减；
此时，当x=时f（x）取得极大值f（）=a（-2）²=，解得a=；
（2）当a＜0时，由f′（x）＜0得x＜或x＞2；由f′（x）＞0得＜x＜2，
所以f（x）在（-∞，），（2，+∞）上单调递减，在（，2）上单调递增；
此时，当x=2时f（x）取得极大值f（2）=2a（2-2）²=，无解；
综上所述，所求a值为．
故选B．
点评：本题考查利用导数求函数极值问题，属基础题，熟练掌握函数在某点取得极值的条件是解决该类问题的关键．