题目内容
已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+
=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
思路分析：将二次函数的图象（抛物线）与相应的一元二次方程、一元二次不等式联系起来分析是问题(1)得以解决的法宝；从题设的二次函数的图象（抛物线）的几何特征，可知抛物线的对称轴为x=，且通过(-1,12)点，进而求出该函数的表示式；是否存在唯一的自然数m=3，使得方程h（x）=2x3-10x2+37=0在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实数根.
解：（1）f（x）=-x2+8x=-（x-4）2+16.
当t+1＜4即t＜3时，f（x）在［t，t+1］上单调递增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）2+8（t+1）=-t2+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在［t，t+1］上单调递减，h（t）=f（t）=-t2+8t.
综上，h（t）=
（2）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，即函数
φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
Qφ(x)=x2-8x+6lnx+m,
∴φ′(x)=2x-8+
（x＞0）.
当x∈（0，1）时，φ′(x)＞0,φ(x)是增函数；
当x∈(0,3)时，φ′(x)＜0,φ(x)是减函数；
当x∈(3,+∞)时，φ′(x)＞0,φ(x)是增函数；
当x=1或x=3时，φ′(x)=0.
φ(x)最大值=φ(1)=m-7，φ(x)最小值=φ(3)=m+6ln3-15.
Q当x充分接近0时，φ(x)＜0，当x充分大时，φ(x)＞0
要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即7＜m＜15-6ln3.
所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15-6ln3).
