Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²+1=S_n(2+a_n),n为正整数，b_n=［］（其中［x］表示不大于x的最大整数）.

（1）试证数列{}为等差数列，并求a_n；

（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；

（3）求证：＜.

Answer 1

解:(1)∵S_n²+1=S_n(2+a_n),∴当n≥2时,S_n²+1=S_n(2+S_n-S_n-1).

∴S_nS_n-1=2S_n-1.∴(S_n-1)(S_n-1-1)=S_n-S_n-1.

∴=-1.∴{}是等差数列.

又∵S₁²+1=S₁(2+a₁),∴a₁²+1=a₁(2+a₁).∴a₁=.

∴+(-1)(n-1)=-n-1.∴S_n=.

∴a_n=S_n+-2=.

(2)∵==n-3+,且当n=1、2时,2≤＜3;

当n=3、4、5、6、7、8时,1≤＜2;当n≥9时,0＜＜1.

∴b_n=

∴T_n=

（3）∵=＜=［］,

∴＜++［()+()+…+()］＜++×=.