Question

已知函数y=f(x)对任意x,y∈R,均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f（1）=-.

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大、最小值.

Answer 1

解:(1)令x=y=0,f(0)=0,令y=-x可得:f(-x)=-f(x).

在R上任取x₁＜x₂,Δx=x₂-x₁＞0,

Δy=f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁).

∵x₁＜x₂,∴x₂-x₁＞0.

又∵x＞0时,f(x)＜0.

∴f(x₂-x₁)＜0即Δy＜0,也即f(x₂)＜f(x₁).

由定义可知,f(x)在R上为单调递减函数.

(2)∵f(x)在R上是减函数,

∴f(x)在［-3,3］上也是减函数.

∴f(-3)最大,f(3)最小,

f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(-)=-2,

∴f(-3)=-f(3)=2,

即f(x)在［-3,3］上最大值为2,最小值为-2.