Question

已知函数f（x）=

2x+a

x2+1

（x∈R）为奇函数，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据给定函数为奇函数，求出参数a的取值，然后，借助于导数进行判断该函数的单调区间．

解答： 解：∵函数f（x）=

2x+a

x2+1

（x∈R）为奇函数，
∴f（0）=0，
∴a=0，
∴f(x)=

2x

x2+1

，
∵f′（x）=

2(1-x2)

(x2+1)2

=

2(1+x)(1-x)

(x2+1)2

，
令f′（x）≥0，∵x∈（0，+∞），
∴0＜x≤1，
令f′（x）＜0，
∴x＞1，
∴函数f(x)=

2x

x2+1

在（0，1]为增函数，（1，+∞）上为减函数．

点评：本题重点考查函数的奇偶性和单调性的定义，掌握作差比较法的运用，属于中档题．