Question

设椭圆过点，且着焦点为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

Answer 1

本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。

解 (1)由题意：

           ，解得，所求椭圆方程为

(2)方法一

 设点Q、A、B的坐标分别为。

由题设知均不为零，记,则且

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是           ，     

               ，    

从而

       ，（1）   ，（2）

又点A、B在椭圆C上，即

                 

  （1）+（2）×2并结合（3），（4）得4x+2y=4.

即点总在定直线上

方法二

设点，由题设，均不为零。

且

又 四点共线，可设,于是

                             （1）

                             （2）

由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得

      （3）

       (4)

(4)－(3) 　　　得  

即点总在定直线上