Question

【题目】已知点为抛物线： 的焦点，点为抛物线上一定点。

（1）直线过点交抛物线于、两点，若，求直线的方程；

（2）过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）1.

【解析】试题分析：（1）依题意，点的坐标为.设直线的方程为，

联立方程组： ，消去并整理得： ，设，则故解得，写出直线的方程（2）过点作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线于异于点的两点，设直线的斜率为，则直线的斜率为.令，联立方程组： ，消去并整理得： 设，因为点的坐标为，所以，故，用-t去换点P坐标中的t可得点的坐标为，计算直线的斜率即可.

试题解析：

（1）依题意，点的坐标为.设直线的方程为，

联立方程组： ，消去并整理得：

设，则

故，解得： .

故直线的方程为，或.

（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为.令，

联立方程组： ，消去并整理得：

设，因为点的坐标为，所以，故，

从而点的坐标为，用-t去换点P坐标中的t可得点的坐标为，所以直线的斜率为