Question

设函数f（x）=alnx+（x-1）²，（a∈R）．
（1）若a=-4，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[

1

2

，2]上存在单调递减区间，试求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（1）把a=-4代入，先求定义域，在求导数，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函数的单调区间，即可得到函数的最小值．
（2）先求导数，由函数f（x）在区间[

1

2

，2]上单调递减，转化成f′（x）≤0在[

1

2

，2]上恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．
（3）对参数a分类讨论，求导函数，由f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间，从而可求函数的极值；．

解答：解：由于函数f（x）=alnx+（x-1）²，（a∈R）．
则f′(x)=

a

x

+2(x-1)=

2x2-2x+a

x

，(x＞0)
（1）由于a=-4，则f′(x)=

2x2-2x-4

x

=

2(x+1)(x-2)

x

令f′（x）＞0，则x＞2，
故函数f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增
故f（x）的最小值为f（2）=1-4ln2
（2）由于函数f（x）在[

1

2

，2]上存在单调递减区间，
则2x²-2x+a≤0亦即a≤-2x²+2x在[

1

2

，2]上恒成立
故y=-2x²+2x在[

1

2

，2]上递减，且最小值为

1

2

故实数a的取值范围是：a≤

1

2

（3）当△=2²-4×2×a≤0，即a≥

1

2

时，f′(x)=

2x2-2x+a

x

，(x＞0)恒大于等于0，
故此时函数无极值．
当0＜a＜

1

2

时，令f′(x)=

2x2-2x+a

x

＞0，(x＞0)，则0＜x＜

1- 1-2a

2

或x＞

1+ 1-2a

2

，
故此时函数在x=

1- 1-2a

2

处取得极大值，在x=

1+ 1-2a

2

处取得极小值．
当a≤0时，令f′(x)=

2x2-2x+a

x

＞0，(x＞0)，则x＞

1+ 1-2a

2

，
故此时函数无极大值，在x=

1+ 1-2a

2

处取得极小值．
综上，当a≥

1

2

时，函数无极值；
当0＜a＜

1

2

时，函数在x=

1- 1-2a

2

处取得极大值，在x=

1+ 1-2a

2

处取得极小值；
当a≤0时，函数无极大值，在x=

1+ 1-2a

2

处取得极小值．

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件、利用导数求函数单调区间，由f′（x）＞0（＜0）得函数的单调增（减）区间，而在解不等式f′（x）＞0（＜0）时，如果含有参数时，要注意对参数分类讨论．