Question

       如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是AC的中点，A₁O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC.

    （I）求证： AC₁⊥平面A₁BC;

    （II）若AA₁=2，求三棱锥C-A₁AB的高的大小．

Answer 1

解：

（Ⅰ）因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC．

又BC⊥AC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，所以AC₁⊥BC．                     

因为AA₁＝AC，所以四边形A₁ACC₁是菱形，所以AC₁⊥A₁C．

所以AC₁⊥平面A₁BC．                                                                          

（Ⅱ）设三棱锥C-A₁AB的高为h．

由（Ⅰ）可知，三棱锥A-A₁BC的高为AC₁＝．

因为V_C-A1AB＝V_A-A1BC，即S_△A1ABh＝S_△A1BC·．

在△A₁AB中，AB＝A₁B＝2，AA₁＝2，所以S_△A1AB＝．          

在△A₁BC中，BC＝A₁C＝2，∠BCA₁＝90°，所以S_△A1BC＝BC·A₁C＝2．

所以h＝．