Question

【题目】已知椭圆C的右焦点F（1，0），过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，当l垂直于x轴时，|AB|=3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）在x轴上是否存在点T，使得 为定值？若存在，求出点T坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的标准方程为 =1，a＞b＞0，

由已知可得： =3，c=1，

又a2=b2+c2，

解得 ，

故所求椭圆C的方程为 =1

（2）解：设存在满足条件的点T（t，0），

当直线AB斜率不为0时，可设直线AB为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

将x=my+1代入C得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，

显然△＞0，且y1+y2= ，y1y2= ，x1+x2= ，x1x2= ．

∴ =（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2=x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2= +t2﹣2t+1，

要使 为定值须有 = ，得t= ，

此时T（ ，0）， 为定值﹣ ．

当直线AB斜率为0时， =﹣ ．

故存在点T（ ，0）满足题设

【解析】（1）设椭圆C的标准方程为 =1，a＞b＞0．，由已知可得： =3，c=1，又a2=b2+c2 ， 解出即可得出．（2）设存在满足条件的点T（t，0），当直线AB斜率不为0时，可设直线AB为x=my+1，将直线方程代入C得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质可得： = +t2﹣2t+1，要使 为定值须有 = ，得t，即可得出；当直线AB斜率为0时， 直接得出．