Question

已知函数f(x)，g(x)在R上有定义，对任意的x，y∈R有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)，且f(1)≠0．

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)若f(1)=f(2)，求g(1)+g(-1)的值；

(3)若f(1)=kf(2)(k＞0)，则记函数h(k)=g(1)+g(-1)+，讨论函数h(k)的单调性并求极值．

Answer 1

答案：(1)因为对任意的x，y∈R有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)，所以f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)

∴f(x-y)=-f(y-x)，即f(x)=-f(x)

所以f(x)为奇函数．

(2)f(2)=f[1-(-1)]=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)]

∵f(2)=f(1)0，∴g(-1)+g(1)=1．

(3)∵f(1)=kf(2)(k＞0)，∴f(2)0，

由上知g(-1)+g(1)=，∴h(k)=+k(k＞0)

从而h′(k)=+1=(k＞0)

由此可得

k	(0,1)	1	(1,+∞)
h′(k)	-	0	+
h(k)	↘	极小值2	↗

所以h(k)在区间(0，1)内单调递减，在区间(1，+∞)内单调递增，在k=1时取得极小值2．