Question

已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x²+2x.

(1)求函数g(x)的解析式;

(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;

(3)(文)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在［-1,1］上是增函数,求实数λ的取值范围.

Answer 1

解析:(1)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x₀,y₀)关于原点的对称点为P(x,y),??

则

即

∵点Q(x₀,y₀)在函数y=f(x)的图象上,?

∴-y=x²-2x,即y=-x²+2x.?

故g(x)=-x²+2x.?

(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得?

2x²-|x-1|≤0.?

当x≥1时,2x²-x+1≤0,此时不等式无解.?

当x＜1时,2x²+x-1≤0,?

∴-1≤x≤.?

因此,原不等式的解集为［-1, ］.?

(3)(文)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1.??

①当λ=-1时,h(x)=4x+1在［-1,1］上是增函数,∴λ=-1.?

②当λ≠-1时,对称轴的方程为x=.?

(ⅰ)当λ＜-1时, ≤-1,?

解得λ＜-1.?

(ⅱ)当λ＞-1时, ≥1,?

解得-1＜λ≤0.?

综上,λ≤0.