Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知a₁=b₁=1，b₄=8，S₁₀=55．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式； 
（2）求S_n与T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，依题意可求得公差为d与公比为q，从而可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）利用等差数列的求和公式与等比数列的求和公式即可求得S_n与T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．
由S₁₀=55，得 10a₁+45d=55，…．（2分）
又a₁=1，所以10+45d=55，d=1…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．…（5分）
由b₄=8，得b₁•q³=8，…（6分）
又b₁=1，所以q³=8，q=2．…（8分）
∴b_n=b₁•2^n-1=2^n-1…．（10分）
（2）S_n=

(a1+an)n

2

=

(1+n)n

2

=

1

2

n²+

1

2

n．…（12分）
T_n=

a1(1-qn)

1-q

=

(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1．…（14分）

点评：本题分别考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式与等比数列的求和公式，属于中档题．