题目内容

已知函数f（x）=2aex+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．
（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x）-g（x）|的值称为两函数在x处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．
【答案】分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x-，令h（x）=x-，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；
（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）-g（x）|=|ex-lnx|，通过构造函数q（x）=ex-x-1，可得ex-1＞x    …①，构造m（x）=lnx-x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得ex-1＞lnx+1，即ex-lnx＞2，还可得ex＞lnx，综合可得结论．
解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），
又f′（x）=2aex，∴f′（0）=2a，
函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），
又g′（x）=，g′（2a）=
由题意可知，2a=，即a2=
又a＞0，所以a=…（3分）
不等式可化为m＜x-f（x）+
即m＜x-，令h（x）=x-，则h′（x）=1-（）ex，
∵x＞0，∴≥，
又x＞0时，ex＞1，∴（）ex＞1，故h′（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）上是减函数
即h（x）在[1，5]上是减函数
因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，
只需m＜h（5）=5-，
所以实数m的取值范围是（-∞，5-）…（8分）
（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，
∴|f（x）-g（x）|=|ex-lnx|
令q（x）=ex-x-1，则q′（x）=ex-1＞0，
∴q（x）在（0，+∞）上是增函数
故q（x）＞q（0）=0，即ex-1＞x    …①
令m（x）=lnx-x+1，则m′（x）=，
当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②
由①②得ex-1＞lnx+1，即ex-lnx＞2
又由①得ex＞x+1＞x
由②得lnx＜x-1＜x，∴ex＞lnx
∴|f（x）-g（x）|=ex-lnx＞2
故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是（　　）
已知函数f（x）=2+log0.5x（x＞1），则f（x）的反函数是（　　）
已知函数f（x）=2（m-1）x2-4mx+2m-1
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．
（2013•上海）已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=2|x-2|-x+5，若函数f（x）的最小值为m
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．

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