Question

（本题满分16分）已知函数.

（1）若，且不等式在上恒成立，求证:；

（2）若，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，求不等式在上恒成立的充要条件.

 

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）只要找到不等式在上恒成立的条件，就能达到证明的目的，对于开口向上的抛物线，函数值非负的条件是；（2）恒成立求参数范围，经常采用参数分离法，然后将问题转化为求函数最值，至于最值的求法可用不等式或导数求得；（3）且，所以问题就转化为研究在上的最值，从而求出的范围.

试题解析：（1）不等式在上恒成立，即，即在上恒成立，因为，必有成立，即，又，所以有成立.

（2）当时，不等式在上恒成立，即，即在上恒成立，当时，不等式显然成立，当时，可转化为在上恒成立，设（），则有，所以在上为减函数，，所以在上恒成立，只需，即.

（3）当时，不等式在上恒成立，即在上恒成立，因为，函数的图象开口向下，对称轴为，，结合二次函数的图象，可将问题可等价转化为：或或，解得或或，综上即，.

考点：与二次函数相关的不同形态的恒成立问题，以及数形结合思想、分类讨论思想.