Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2+t，S₅-S₂=24+3t（t＞0）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=aqⁿ+n，若b₁=a₁，b₅=a₅，试比较a₃与b₃的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用a₁=2+t，S₅-S₂=24+3t，确定数列的公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用b_n=aqⁿ+n，b₁=a₁，b₅=a₅，确定q²＞1，再作差比较a₃与b₃的大小．
解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，则S₅-S₂=3a₁+9d=24+3t．…（2分）
又a₁=2+t，则d=2，…（4分）
故a_n=2n+t．…（6分）
（II）由已知可得aq=1+t＞0，aq⁵=5+t，…（8分）
相加得3+t=（aq+aq⁵），…（10分）
又aq⁵-aq=aq（q⁴-1）=4，则q⁴＞1，得q²＞1   …（13分）
则a₃-b₃=3+t-aq³=，故a₃＞b₃．  …（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查大小比较，考查学生的计算能力，属于中档题．