Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）求BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面ABD₁内，过A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，连接CE，证明∠AEC为二面角A-BD₁-C的平面角，利用余弦定理，可求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）利用等体积，求出BD₁与平面ACD₁的距离，即可求BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．
解答：解：（1）在平面ABD₁内，过A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，连接CE

△AD₁B与△CD₁B中，AB=BC，AD₁=CD₁，BD₁=BD₁，∴△AD₁B≌△CD₁B，
∴AE=CE
∵AE⊥BD₁，∴CE⊥BD₁，
∴∠AEC为二面角A-BD₁-C的平面角
∵AB⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，∴AB⊥AD₁，∴△ABD₁是Rt△，
设正方体的棱长为1，AD₁=，BD₁=，
由等面积可得AE•BD₁=AD_1•AB，∴AE=，
在△AEC中，根据余弦定理，cos∠AEC==-
∴∠AEC=120°，即二面角A-BD₁-C的大小为120°；
（2）设BD₁与平面ACD₁所成角为θ，BD₁与平面ACD₁的距离为h，则
由可得
∴h=
∵，∴sinθ==
∴BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值为．
点评：本题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角，考查三棱锥体积公式的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．