Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；
（Ⅲ）若，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面POB，即可证明AD⊥PB；
（Ⅱ）证明PO⊥底面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量为，平面DQC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（Ⅲ）求出平面DEQ法向量为，利用PA∥平面DEQ，即，从而可得结论．
解答：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连接OP，OB，BD．
因为PA=PD，所以PO⊥AD．      …（1分）
因为菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以AB=BD，所以BO⊥AD．      …（2分）
因为BO∩PO=O，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥PB．      …（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BO⊥AD，PO⊥AD．
因为侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以PO⊥底面ABCD．     …（6分）
以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz．…（7分）
则D（-1，0，0），，P（0，0，1），，
因为Q为PC中点，所以．                   …（8分）
所以，，所以平面DEQ的法向量为．
因为 ，，
设平面DQC的法向量为，则，∴
令，则y=1，，即．         …（9分）．
由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为．       …（10分）
（Ⅲ）解：因为，所以 ，
由（Ⅱ）知，，
若设Q（x，y，z），则，
由 ，得，
在平面DEQ中，，，
所以平面DEQ法向量为，…（12分）
又因为PA∥平面DEQ，所以，…（13分）
即（1-λ）+（-1）（2λ-1）=0，得．
所以，当时，PA∥平面DEQ．                         …（14分）
点评：本题考查线面垂直，考查线线垂直，考查线面平行，考查面面角，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是解题的关键．