如题图.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的左右焦点分别为F1.F2.且过F2的直线交椭圆于P.Q两点.且PQ⊥PF1．(Ⅰ)若|PF1|=2+$\sqrt{2}$.|PF2|=2-$\sqrt{2}$.求椭圆的标准方程．(Ⅱ)若|PQ|=λ|PF1|.且$\frac{3}{4}$≤λ＜$\frac{4}{3}$.试确定椭圆离心率e的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如题图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，且过F₂的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF₁．
（Ⅰ）若|PF₁|=2+$\sqrt{2}$，|PF₂|=2-$\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF₁|，且$\frac{3}{4}$≤λ＜$\frac{4}{3}$，试确定椭圆离心率e的取值范围．

分析（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF₁|+|PF₂|，解得a．设椭圆的半焦距为c，由于PQ⊥PF₁，利用勾股定理可得2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，解得c．利用b²=a²-c²．即可得出椭圆的标准方程．
（II）如图所示，由PQ⊥PF₁，|PQ|=λ|PF₁|，可得|QF₁|=$\sqrt{1+{λ}^{2}}|P{F}_{1}|$，由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=4a，解得|PF₁|=$\frac{4a}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$．|PF₂|=2a-|PF₁|，由勾股定理可得：2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，代入化简．令t=1+λ$+\sqrt{1+{λ}^{2}}$，则上式化为e²=$8（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{2}$，解出即可．

解答解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF₁|+|PF₂|=（2+$\sqrt{2}$）+（2-$\sqrt{2}$）=4，解得a=2．
设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF₁，
∴2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$=$\sqrt{（2+\sqrt{2}）^{2}+（2-\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$．
∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）如图所示，由PQ⊥PF₁，|PQ|=λ|PF₁|，
∴|QF₁|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|PQ{|}^{2}}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}}|P{F}_{1}|$，
由椭圆的定义可得：2a=|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|，
∴|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=4a，
∴$（1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）$|PF₁|=4a，解得|PF₁|=$\frac{4a}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$．
|PF₂|=2a-|PF₁|=$\frac{2a（λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}-1）}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}$，
由勾股定理可得：2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，
∴$（\frac{4a}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}）^{2}$+$[\frac{2a（λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}-1）}{1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}}]^{2}$=4c²，
∴$\frac{4}{（1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）^{2}}$+$\frac{（λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}-1）^{2}}{（1+λ+\sqrt{1+{λ}^{2}}）^{2}}$=e²．
令t=1+λ$+\sqrt{1+{λ}^{2}}$，则上式化为${e}^{2}=\frac{4+（t-2）^{2}}{{t}^{2}}$=$8（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{2}$，
∵t=1+λ$+\sqrt{1+{λ}^{2}}$，且$\frac{3}{4}$≤λ＜$\frac{4}{3}$，
∴t关于λ单调递增，∴3≤t＜4．∴$\frac{1}{4}＜\frac{1}{t}≤\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{2}＜{e}^{2}≤\frac{5}{9}$，解得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜e≤\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴椭圆离心率的取值范围是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{5}}{3}]$．