Question

5．已知1-x+x²-x³+…+x⁸=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₈（x+1）⁸．则a₂=（　　）

• A． 120
• B． 56
• C． 72
• D． 84

Answer 1

分析 利用等比数列的求和公式，结合条件，可得$\frac{（x+1-1）^{9}+1}{x+1}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，从而可求a₂．

解答 解：∵1-x+x²-x³+…+x⁸=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₈（x+1）⁸，
∴$\frac{1-（-x）^{9}}{1-（-x）}$=$\frac{{x}^{9}+1}{x+1}$=$\frac{（x+1-1）^{9}+1}{x+1}$=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₈（x+1）⁸．
令t=x+1，则$\frac{（t-1）^{9}+1}{t}$=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₈（x+1）⁸．
∴a₂=${c}_{9}^{3}$（-1）⁶=84．
故选：D．

点评 本题考查二项式定理的应用，难点在于$\frac{（x+1-1）^{9}+1}{x+1}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸的转化，属于中档题．