Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，由正方形的几何特征结合线面垂直的判定，易得AA₁⊥平面ABC，即三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，再由点D是棱B₁C₁的中点，结合等腰三角形“三线合一”，及直三棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理，即可得到A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）连接AC₁，交A₁C于点O，连接OD，由正方形的几何特征及三角形中位线的性质，可得OD∥AB₁，进而结合线面平行的判定定理，我们易得，AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）因为AB，AC，AA₁两两互相垂直，故可以以A坐标原点，建立空间坐标系，求出几何体中各顶点的坐标，进而求出平面DA₁C与平面A₁CA的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
解答：（Ⅰ）证明：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．（1分）
因为A₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，（2分）
又因为A₁B₁=A₁C₁，D为B₁C₁中点，
所以A₁D⊥B₁C₁．（3分）
因为CC₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．（4分）
（Ⅱ）证明：连接AC₁，交A₁C于点O，连接OD，
因为ACC₁A₁为正方形，所以O为AC₁中点，又D为B₁C₁中点，
所以OD为△AB₁C₁中位线，所以AB₁∥OD，（6分）
因为OD?平面A₁DC，AB₁?平面A₁DC，
所以AB₁∥平面A₁DC．（8分）
（Ⅲ）解：因为侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则.，（9分）
设平面A₁DC的法向量为n=（x，y，z），则有，，x=-y=-z，
取x=1，得n=（1，-1，-1）．（10分）
又因为AB⊥平面ACC₁A₁，所以平面ACC₁A₁的法向量为，（11分），（12分）
因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为．（13分）
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握线面关系的判定、性质、定义及几何特征是解答线面关系判定的关键，而利用向量法求二面角的关键是建立适当的坐标系．