Question

（本小题满分12分）

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=CC1，M、N分别为BB1、

A1C1的中点.

（1）求证：CB1⊥平面ABC1；

（2）求证：MN//平面ABC1.

 

Answer 1

详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出平面，得出．正方形中，对角线，由线面垂直的判定定理可证出平面；（2）取的中点，连，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出且，从而得到是平行四边形，可得，结合线面平行判定定理即可证出面．

【解析】
（1）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，

侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，

∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，

∴AB⊥平面BB1C­1 　　　　　　 　　 2分

∵CB1平面BB1C1C，∴AB⊥CB1.　　　 4分

∵，，∴是正方形，

∴，∴CB1⊥平面ABC1. 6分

（2）取AC1的中点F，连BF、NF. 7分

在△AA1C1中，N、F是中点，∴NFAA1，又∵BMAA1，∴EFBM， 8分

故四边形BMNF是平行四边形，∴MN//BF， 10分

而EF面ABC1，MN平面ABC1，∴MN//面ABC1 12分

考点：1.直线与平面垂直的判定；2.直线与平面平行的判定.