Question

12．已知函数f（x）=（x+5）（x²+x+a）的图象关于点（-2，0）对称，设关于x的不等式f'（x+b）＜f'（x）的解集为M，若（1，2）?M，则实数b的取值范围为-6≤b＜0．

Answer 1

分析 利用函数的对称中心，推出f（-4）=-f（0），求解a．化简函数的解析式，利用不等式推出b²+2bx+4b＜0对x∈（1，2）恒成立．通过b的取值讨论求解即可．

解答 解：函数f（x）的图象关于点（-2，0）中心对称，则f（-4）=-f（0），由此求得a=-2，
∴f（x）=（x+2）（x²+4x-5）=x³+6x²+3x-10，f'（x+b）＜f'（x）?f'（x+b）-f'（x）＜0，即b²+2bx+4b＜0对x∈（1，2）恒成立．
显然b=0不合题意．
当b＞0时，f'（x+b）-f'（x）＜0?b＜-2x-4，b≤-8（舍去）；
当b＜0时，f'（x+b）-f'（x）＜0?b＞-2x-4，b≥-6．综上，b的取值范围是-6≤b＜0．
故答案为：-6≤b＜0．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的对称中心以及函数的恒成立问题的转化方法，考查计算能力．