题目内容
已知抛物线y2=6x.（1）求以点M（4，1）为中点的弦所在直线的方程；（2）求过焦点F的弦的中点的轨迹方程；（3）求抛物线被直线y=x-m截得的弦的中点的轨迹.
思路解析：可设出直线的方程，与抛物线方程联立消元求解；也可利用“设而不求”法. 解法一：如图所示. （1）设直线l：y-1=k(x-4)（显然k存在且不为0）， 即x= 又设弦AB的端点为A（x1,y1）、B（x2,y2）， 则y1+y2= ∵M为AB中点，∴ 即 （2）焦点F（ 即x= 设AB中点为P(x0，y0),则y0= 又y0=k(x0- 由①,得k= 即所求轨迹方程是y2=3(x- （3）由 则 ∴x0=m+3＞ 表示除去端点（ 解法二：设直线l交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，AB中点为M（x0，y0）， 由 ∴kl= （1）由已知y0=1，∴kl=3，直线方程为y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0. （2）∵kl=kMF,∴ 即y02=3（x0- ∴中点M的轨迹方程是y2=3（x- （3）由已知,得kl= ∵ ∵直线l与抛物线相交， ∴中点M在抛物线内，∴x0＞ 即中点M的轨迹为射线y=3（x＞
+4,代入y2=6x,整理得ky2-6y+6(1-4k)=0.
.
=1，
=1.∴k=3,直线方程为y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.
，0），设l：y=k(x-
)(k≠0),
+
,代入y2=6x得ky2-6y-9k=0.
=
. ①
), ②
,代入②,得y0=3(x0-
)，
).
y2-6y-6m=0.设弦AB的中点为Q（x0，y0），
由Δ=62+4×6m＞0,得m＞-
.
，即中点Q的轨迹方程是y=3(x＞
),
，3）的一条射线.
（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2）.
=
=
.
=
,
）.
）.
=1,∴y0=3.
∴
即直线y=3与抛物线的交点是（
，3）.
，
）.
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