题目内容

已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的极坐标方程为：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：
x=1-
3
2
t
y=
1
2
t
（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C1与?交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．
分析：（I）利用倍角公式和极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；
（II）把直线的参数方程直线?的参数方程
x=1-
3
2
t
y=
1
2
t
（t为参数）代入到曲线C1的直角坐标方程即可得到关于t的一元二次方程，利用参数t的几何意义即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0得5ρ2-3ρ2（cos2θ-sin2θ）-8=0
即5ρ2-3ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-8=0，从而5（x2+y2）-3x2+3y2-8=0
整理得
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）把直线的参数方程直线?的参数方程
x=1-
3
2
t
y=
1
2
t
（t为参数）
代入到曲线C1的直角坐标方程，得7t2-4
3
t-12=0t1t2=-
12
7
．
由t的几何意义知|PM|•|PN|=|t1•t2|=
12
7
．
点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、参数t的几何意义、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、倍角公式等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的极坐标方程为：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直线的参数方程为：
x=1-
3
t
y=t
（为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线上有一定点P（1，0），曲线C1与l交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．
坐标系与参数方程：
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线c1的极坐标方程为：5p2-3p2cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：
x=1-
3
t
y=t
（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线c1与?交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．
本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形？
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的极坐标方程为：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：
x=1-
3
t
y=t
（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C1与?交于M，N两点，求|PM|．|PN|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
（Ⅰ）求证：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．
（1）若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
0-1
10
对应变换的作用下得到的点为B（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=
0
1
2
10
所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=
π
4
(ρ∈R)，它与曲线
x=2+
5
cosθ
y=1+
5
sinθ
(θ为参数）相交于两点A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：ρcos(θ-
π
4
)=
2
，曲线C2的参数方程为：
x=1+cosθ
y=3+sinθ
（θ为参数），试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

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