Question

【题目】对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．

（1）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（2）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；

（3）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据定义，可得不能结束，数列能结束，并可写出数列；（2）经过有限次“变换”后能够结束的充要条件，先证明，则经过一次“变换”，就得到数列，从而结束，再证明命题“若数列为常数列，则为常数列”， 即可得解；（3）先证明引理：“将数的最大项一定不大于数列的最大项，其中

” ，再分类讨论：第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻，（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，，第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时，证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列.

（1）数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．

数列能结束，各数列依次为；；；．

（2）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．

若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．

当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．

当时，数列．

由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列．

其它情形同理，得证．

在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列．

所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．

（3）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．

证明：记数列中最大项为，则．

令，，其中．

因为， 所以，

故，证毕．

现将数列分为两类．

第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，．

第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．

下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．

不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）

①当数列中只有一项为时，

若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；

若，则；；，

此数列各项均不为，为第一类数列．

②当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；

若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．

③当数列中有三项为时，只能是，则，

，，此数列各项均不为，为第一类数列．

总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．

又因为各数列的最大项是非负整数，

故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束．