Question

某种食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为

3

4

、

2

3

、

4

5

．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，分为三种情况，①2袋食品的三道工序都不合格②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格③两袋都有两道工序不合格，分别求出概率相加即可．
（Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的数学期望，可分别求出ξ的分布即P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）的值，然后根据期望公式求解即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）2袋食品都为废品的情况为
①2袋食品的三道工序都不合格P1=(

1

4

×

1

3

×

1

5

)2=

1

3600

②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格P2=

C

1 2

×

1

60

×(

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

)=

1

200

③两袋都有两道工序不合格P3=(

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

)2=

9

400

所以2袋食品都为废品的概率P=P1+P2+P3=

1

36

（Ⅱ）因为ξ=1，2，3，
P（ξ=0）=

1

4

×

1

3

×

1

5

=

1

60

P（ξ=1）=

3

4

×

1

3

×

1

5

+

1

4

×

2

3

×

1

5

+

1

4

×

1

3

×

4

5

 =

3

20

P（ξ=2）=

1

4

×

2

3

×

4

5

+

3

4

×

1

3

×

4

5

+

3

4

×

2

3

×

1

5

 =

13

30

P（ξ=3）=

3

4

×

2

3

×

4

5

=

2

5

故Eξ=1×

3

20

+2×

13

30

+3× 

2

5

=

133

60

．

点评：此题主要考查离散型随机变量的期望和方差以及相互独立事件的概率乘法公式，其中用到分类讨论思想，有一定的计算量属于中档题目．