Question

    已知双曲线的两个焦点分别为F₁、F₂，点F₁又是抛物线y²=4x的焦点，点A(－1，2)、B(3，2)在双曲线上.

    (1)求点F₂的轨迹方程；

    (2)是否存在直线l:y=x+m与点F₂的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)∵F1(1，0)，∴由题意,得||F1A|－|F2A||=||F1B|－|F2B||.　　　　　　　　　　　　　　   (*)     ∵A(－1，2)，B(3，2)， ∴,，设点F2的坐标为(x,y),     ①当(*)取|F1A|－|F2A|=|F1B|－|F2B|时，则有|F2A|=|F2B|，∴x=1.     ②当(*)取|F1A|－|F2A|=|F2B|－|F1B|时，则有|F2A|+|F2B|=4＞|AB|=4.     ∴F2的轨迹表示椭圆.     ∵F1,F2不重合，∴除去点(1，0).     ∵A、B两点到两焦点距离不等，∴除去点(1,4).     ③综上，F2的轨迹方程为x=1(y≠0,y≠4)和 (y≠0,y≠4).　　       (2)F2的轨迹如图所示，当直线l与椭圆相切时符合题意，由     消y，得3x2+(4m－10)x+2m2－8m+1=0,由Δ=0，得m=1±2.