Question

（2010•湖北模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，当E、F分别在线段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=3，BC=4，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直．
（1）证明：直线AB与CD是异面直线；
（2）当直线AC与平面EFCD所成角为30°时，求二面角A-DC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）直线AB与CD是异面直线用反证法证明：假直线AB与CD共面，由线面平行的性质定理及平行公理，我们可以得到CD与已知中ABCD为梯形矛盾，进而得到直线AB与CD是异面直线；
（2）构造∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角，可求EF；延长CD，EF，相交于N，过E作EH⊥DN于H，连接AH，可证得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，从而可求二面角A-DC-E的大小．

解答：解：（反证法）（1）假设AB，CD共面，
则AB∥CD或AB与CD相交，若AB∥CD，又AB∥EF，
则CD∥EF矛盾．若AB∩CD=P，
则P∈EF，∴AB∩EF=P，矛盾．（6分）
（2）∵AE⊥EF，平面ABEF⊥平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．
∴∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角．∠ACE=30°，AE=2．
∴EC=2

3

，又FC=2，∴EF=2

2

．（8分）
延长CD，EF相交于N，过E作EH⊥DN于H，
连AH，则AH⊥DA．
∴∠AHE是二面角A-DE-E的平面角，又DE=1，FC=2，
则NE=EF=2

2

．
∴EH=

NE•DE

NE2+DE2

=

2 2

3

，tan∠AHE=

2

2 2 3

=

3 2

2

，cos∠AHE=

22

11

．
∴二面角A-DC-E的余弦值是

22

11

．（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线的判定，其中（1）中反证法关键是由假设结论不成立，推理后得到矛盾，（2）的关键是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直线AC与平面EFCD所成的角．