Question

20．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$是单位向量．
（1）若$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{b}$；
（2）若$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{a}$，求$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算，利用单位向量的定义和向量的共线定理，列出方程组求出（1）中$\overrightarrow{b}$的坐标；
利用两向量垂直时数量积为0，列出方程组求出（2）中$\overrightarrow{b}$的坐标．

解答 解：因为$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$是单位向量，设$\overrightarrow{b}$=（xy）x²+y²=1①；
（1）当$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{a}$时，3y-4x=0②，
由①②组成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{b}$=（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）或（-$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）；
（2）当$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{a}$时，3x+4y=0③，
由①③组成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）或（$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的平行和垂直的应用问题，是基础题目．