Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（$\frac{π}{6}$，1），与该最高点最近的一个最低点是（$\frac{2π}{3}$，-3）
（1）求函数f（x）的解析式
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b²=a²+c²+accosB，角A的取值范围是区间M，当x∈M时，试求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等式化简f（x），由最高最低点坐标得到未知量ω和c．
（2）由余弦定理，得到B的值和M的范围，由此得到2x+$\frac{π}{6}$的范围，由此得到值域．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx+c
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+c，
∵图象上的一个最高点（$\frac{π}{6}$，1），与该最高点最近的一个最低点是（$\frac{2π}{3}$，-3），
∴c=-1，T=π，
∴ω=2，
∴函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）∵b²=a²+c²+accosB，
∴cosB=0，∴B=$\frac{π}{2}$，
∴M∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
∴2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）∈（-2，1]．

点评 本题考查三角函数化简，以及由最高最低点坐标得到未知量．再由余弦定理，得到B的值和M的范围，由此得到值域．