Question

设AB是抛物线y=x²上的动弦,且|AB|=a(a≥1为常数),求弦AB中点M到x轴的最近距离,并研究0＜a＜1的情况.

Answer 1

(1)解法一:设直线AB的方程为y=kx+b,A、B两点的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由得x²－kx－b=0.

∴x₁+x₂=k,x₁·x₂=－b.

∴|AB|=|x₁－x₂|==a.

化简得b=.

点M到x轴的距离为d=y===

==［+(k²+1)－1］

≥［2·－1］=(2a－1).

当且仅当=1+k²,即k=±(a≥1)时“=”成立.

解法二:设A、M、B点的纵坐标分别为y₁、y₂、y₃,A、M、B三点在抛物线准线上的射影分别为A′、M′、B′,由抛物线的定义,知

|AF|=|AA′|=y₁+,|BF|=|BB′|=y₃+.

∴y₁=|AF|－,y₃=|BF|－.

又M是线段AB的中点,

∴y₂=(y₁+y₃)=(|AF|+|BF|－)≥ (|AB|－)= (2a－1).等号在AB过焦点F时成立.

∴当定长为a的弦过焦点F时,M点与x轴的距离最近,最近距离为(2a－1).

(2)若0＜a＜1,此时只能用解法一,得

y=［+(1+k²)－1］.

令1+k²=t,得y= (+t－1)(t≥1).

又u=+t在(0,a］上是减函数,在［a,+∞)上是增函数.

又0＜a＜1,故u=+t在［1,+∞)上是增函数，

故当t=1即k=0时,y_min=a².