Question

20．已知向量$\overrightarrow a=（x，2）$与$\overrightarrow{b}$=（2，1）垂直，则$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，解得x=-1．计算（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），即可得出$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2x+2=0，解得x=-1．
$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$=（3，4），
2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-4，3）．
∴（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．