题目内容

已知向量
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，
3
2
π]
（1）求|
a
+
b
|的取值范围；
（2）求函数f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最小值，并求此时x的值．
分析：（1）由-1≤cos2x≤1，以及 |
a
+
b
|=
2+2cos2x
，求出 |
a
+
b
|的最小值．
（2）由条件可得-1≤cosx≤0，化简f（x）为2cos2x+2cosx-1，利用二次函数的性质求出它的最小值．
解答：解：（1）∵x∈[
π
2
，
3
2
π]，∴-1≤cos2x≤1，
∴|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
-sin
x
2
) 2
=
2+2cos2x
．
∴0≤|
a
+
b
|≤2．　　（4分）
（2）∵x∈[
π
2
，
3
2
π]，∴-1≤cosx≤0． …（6分）
∵f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|=cos2x-
2+2cos2x
=2cos2x-1-
4cos2x
=2cos2x+2cosx-1，…（10分）
∴当cosx=-
1
2
，即x=
2
3
π或x=
4
3
π时，f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|取最小值-
3
2
．…（12分）
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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