Question

设g（x）=2x+，x．
（1）若m=1，求g（x）的单调区间（简单说明理由，不必严格证明）；
（2 ）若m=1，证明g（x）的最小值为g（）；
（3）若，g₂（x）=，不等式|g₁（x）-g₂（x）|≥p恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据y=ax+（a＞0，b＞0，x＜0）单调区间及奇函数关于原点对称的区间上单调性一致即可求出g（x）的单调区间；
（2）由（1）g（x）的单调性即可证明；
（3）根据g（x）的单调性可表示出g₁（x），g₂（x），进而表示出|g₁（x）-g₂（x）|，不等式|g₁（x）-g₂（x）|≥p恒成立等价于不等式|g₁（x）-g₂（x）|_min≥p，其最小值易求，从而问题得以解决．
解答：解：（1）∵g（x）=2x+为奇函数．奇函数在对称区间上单调性相同，
g（x）在x∈[，]上递减，g（x）在x∈[，4]上递增；
（2）用最值的定义证明：
g（x）在x∈[，]上递减，对任意x∈[，]，
都有g（）≥g（x）≥g（），
g（x）在x∈[，4]上递增，对任意x∈[，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（），
综上，g（x）的最小值为g（）．
（3），g₂（x）=，
|g₁（x）-g₂（x）|=，
|g₁（x）-g₂（x）|的最小值为0，
所以p≤0，即实数p的范围是（-∞，0]．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．