题目内容
若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出以下四个函数
①f（x）=
②f（x）=|x|
③f（x）=
④f（x）=x2
其中是完美函数的序号是________．
①
分析：首先分析题目要求选择满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的函数．故可以把4个选项中的函数分别代入不等式|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|分别验证是否成立即可得到答案．
解答：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．
对于①：f（x）=，|f（x2）-f（x1）|=|
-
|=|
|＜|x2-x1|（因为x1，x2在区间（1，2）上，故x1x2大于1）故成立．
对于②：f（x）=|x|，|f（x2）-f（x1）|=||x2|-|x1||=|x2-x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于③：f（x）=（
）x，|f（x2）-f（x1）|=|（）x2-（）x1|＜|x2-x1|，故不成立．
对于④：f（x）=x2，|f（x2）-f（x1）|=|x22-x12|=（x2+x1）|x2-x1|＞|x2-x1|，故不成立．
故答案为：①．
点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题．对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题目．
分析：首先分析题目要求选择满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的函数．故可以把4个选项中的函数分别代入不等式|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|分别验证是否成立即可得到答案．
解答：在区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），分别验证下列4个函数．
对于①：f（x）=
，|f（x2）-f（x1）|=|-|=||＜|x2-x1|（因为x1，x2在区间（1，2）上，故x1x2大于1）故成立．对于②：f（x）=|x|，|f（x2）-f（x1）|=||x2|-|x1||=|x2-x1|（因为故x1和x2大于0）故对于等于号不满足，故不成立．
对于③：f（x）=（
）x，|f（x2）-f（x1）|=|（）x2-（）x1|＜|x2-x1|，故不成立．对于④：f（x）=x2，|f（x2）-f（x1）|=|x22-x12|=（x2+x1）|x2-x1|＞|x2-x1|，故不成立．
故答案为：①．
点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题．对于此类型的题目需要对题目选项一个一个做分析，然后用排除法作答即可．属于中档题目．
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