Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S，数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n和T_n；
（II）若对任意的n∈N^*不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n==2n-1，由此推导出a_n=2n-1，从而得到b_n==（），由此能求出数列{a_n}的通项公式a_n和T_n．
（II）由（I）得：λ＜，由此进行分类讨论，能推导出对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围．
解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n==2n-1，验证当n=1时，也成立；
所以，a_n=2n-1，
b_n===（）

所以，T_n==．
（II）由（I）得：λ＜，
当n为奇数时，λ＜=2n-恒成立，
因为当n为奇数时，2n-单调递增，
所以当n=1时，2n--1取得最小值为0，
此时，λ＜0．
当n为偶数时，=2n++3恒成立，
因为当n为偶数时，2n++3单调递增，所以当n=2时，2n++3取得最小值为，
此时，λ＜．
综上所述，对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围是（-∞，0）．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．