Question

（2012•海淀区一模）在正方体ABCD-A'B'C'D'中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC'所成的角为45°的点P的个数为（　　）

A．0

B．3

C．4

D．6

Answer 1

分析：通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长AB=1，B（1，0，1），C（1，1，1）．
①在Rt△AA^′C中，tan∠AA′C=

|AC|

|AA′|

=

2

，因此∠AA^′C≠45°．
同理A^′B^′，A^′D^′与A^′C所成的角都为arctan

2

≠45°．
故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB^′，BA，BC上时，与A^′C所成的角都为arctan

2

≠45°，不满足条件；
②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则

BP

=(-1，y，0)，

A′C

=(1，1，1)．
若满足BP与AC'所成的角为45°，则

2

2

=|cos＜

BP

，

A′C

＞|=

| BP • A′C |

| BP | | A′C |

=

|-1+y|

1+y2 3

，化为y²+4y+1=0，无正数解，舍去；
同理，当点P位于棱B^′C上时，也不符合条件；
③当点P位于棱A^′D^′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），则

BP

=(-1，y，-1)，

A′C

=(1，1，1)．
若满足BP与AC'所成的角为45°，则

2

2

=|cos＜

BP

，

A′C

＞|=

| BP • A′C |

| BP | | A′C |

=

|-2+y|

2+y2 • 3

，化为y²+8y-2=0，∵0≤y≤1，解得y=3

2

-4，满足条件，此时点P(0，3

2

-4，0)．
④同理可求得棱A^′B^′上一点P(

3

-1，0，0)，棱A^′A上一点P(0，0，

3

-1)．
而其它棱上没有满足条件的点P．
综上可知：满足条件的点P有且只有3个．
故选B．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．