Question

已知函数f（x）=lg（

2

1-x

+a）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求满足不等式f（2x+1）＜f（-x）的x的取值范围；
（3）设g（x）=lg（x+m）（m∈R），若f（x）的图象恒在g（x）的图象上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）是R上的奇函数知，f（0）=0，得a的值；
（2）由f（x）的解析式，代入f（2x+1）＜f（-x）中，求出的x取值范围；
（3）由f（x）恒在g（x）的图象上方，得f（x）＞g（x），即得出m的解析式，从而求出m的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（

2

1-x

+a）是R上的奇函数，∴f（0）=0，即lg（

2

1-0

+a）=0，∴2+a=1，∴a=-1；
（2）∵当a=-1时，f（x）=lg（

2

1-x

-1）=lg（

1+x

1-x

），又f（2x+1）＜f（-x），∴lg

1+(2x+1)

1-(2x+1)

＜lg

1-x

1+x

，
∴0＜

1+x

-x

＜

1-x

1+x

，即

1+x -x ＞0 1+x -x ＜ 1-x 1+x

，解得-1＜x＜-

1

3

；满足不等式f（2x+1）＜f（-x）的x取值范围是：（-1，-

1

3

）；
（3）∵g（x）=lg（x+m）（m∈R），f（x）的图象恒在g（x）的图象上方，∴f（x）＞g（x），即lg（

1+x

1-x

）＞lg（x+m），
∴

1+x

1-x

＞x+m＞0，
∴m＜

1+x

1-x

-x，设t=

1+x

1-x

-x，整理，得x²+tx+（1-t）=0，由t²-4（1-t）≥0，得t≥-2+2

2

，或t≤-2-2

2

；
∴m＜-2+2

2

；
所以，实数m的取值范围是：（-∞，-2+2

2

）．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用以及对数函数的运算，不等式的解法、最值问题，是综合性比较强的题目．