Question

抛物线y=2x²上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，且x₁•x₂=-

1

2

，则m等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、2
• C、

  5

  2

• D、3

Answer 1

分析：先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m求出关于m以及x₂，x₁的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．

解答：解：由条件得A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点连线的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=-1，
而y₂-y₁=2（x₂²-x₁²）  ①，得x₂+x₁=-

1

2

    ②，且（

x2+x1

2

，

y2+y1

2

）在直线y=x+m上，
即

y2+y1

2

=

x2+x1

2

+m，即y₂+y₁=x₂+x₁+2m  ③
又因为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，
所以有2（x₂²+x₁²）=x₂+x₁+2m，：即2[（x₂+x₁）²-2x₂x₁]=x₂+x₁+2m   ④，
把①②代入④整理得2m=3，解得m=

3

2

故选  A．

点评：本题是对直线与抛物线位置关系以及点与直线位置的综合考查．当两点关于已知直线对称时，有两条结论，一是两点的中点在已知直线上；二是两点的连线与已知直线垂直．