Question

直线L：与椭圆C：交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。

求证：椭圆C：与直线L：总有两个交点。当时，求点P的轨迹方程。

（3）是否存在直线L，使OAPB为矩形？若存在，求出此时直线L的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：(1)由得

椭圆C：与直线L：总有两个交点。 ---------4分

(2)设,,,与交于点，则有

即，又由（1）得，

得 （3）

将（3）代入（2）得

点P的轨迹方程为

由

当时，这样的直线不存在；当时，存在这样的直线，此时直线为-