Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-1使，方程有实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（I）=
∵的极值点，∴，∴，∴a=0
又当a=0时，f'（x）=x（3x-2），从而的极值点成立．
（II）因为f（x）在[1，+∞）上为增函数，
所以上恒成立．（6分）
若a=0，则f'（x）=x（3x-2），∴f（x）在[1，+∞）上为增函数不成产‘
若a≠0，由ax+1＞0对x＞1恒成立知a＞0．
所以3ax²+（3-2a）x-（a²+2）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立．
令g（x）=3ax²+（3-2a）x-（a²+2），其对称轴为，
因为，从而g（x）在[1，+∞）上为增函数．
所以只要g（1）≥0即可，即-a²+a+1≥0
所以又因为（10分）
（III）若a=-1时，方程
可得
即b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在x＞0上有解
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
法一：b=x（lnx+x-x²）令h（x）=lnx+x-x²
由∵x＞0∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，
从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h'（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（-∞，0]（15分）
法二：g'（x）=lnx+1+2x-3x²
当，所以上递增；
当，所以上递减；
又∴当0＜x＜x₀时，g'（x）＜0，
所以g（x）在0＜x＜x₀上递减；当x₀＜x＜1时，g'（x）＞0，
所以g（x）在x₀＜x＜1上递增；当x＞0时，g（x）＜0，所以g（x）在x＞1上递减；
又当x→+∞时，g（x）→-∞，
当x→0时，，则g（x）＜0，且g（1）=0所以b的取值范围为（-∞，0]
分析：（I）根据极值点的信息，我们要用导数法，所以先求导，则的极值点，则有从而求得结果．
（II）由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．
（III）将a=-1代入，方程，可转化为b=xlnx+x²-x³，x＞0上有解，只要求得函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域即可．
点评：本题主要考查导数在求最值和极值中的应用，变形与转化是导数法解题中的关键．