Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°.

（1）求二面角D—A₁A—C的大小.

（2）求点B₁到平面A₁ADD₁的距离.

（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）在平面ABCD上，AB=BC=CD=DA=2，

∴四边形ABCD为菱形.

∴BD⊥AC.

∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，

∴BD⊥平面AA₁C₁C.

    设AC∩BD=O，点O作OE⊥AA₁于E点，连结DE，由三垂线定理有AA₁⊥DE，

    则∠DEO为二面角D—A₁A—C的平面角.

    在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，

∴AC=AB=BC=2.

∴AO=1，DO=.

    在Rt△AEO中，OE=AOsinEAO=1·sin60°=，

    在Rt△DEO中，tanDEO===2.

∴∠DEO=arctan2.

∴二面角D—A₁A—C的大小为arctan2.

（2）连结A₁O、A₁B .

    由于B₁B∥平面A₁ADD₁.

    所以B、B₁到平面A₁ADD₁的距离相等.

    设点B到平面A₁ADD₁的距离等于h.

    在△AA₁O中，A₁O²=A₁A²+AO²-2A₁A·AO·cos60°=4+1-2×2×1×=3.

∴A₁O²+AO²=A₁A².

∴A₁O⊥AO，而平面AA₁C₁C⊥平面ABCD.

∴A₁O⊥平面ABCD.

    由上述第（1）问有ED⊥A₁A且ED=.

∴A₁A·ED=×2×=

    又S_△ABD=AO·BD=×1×.

    由，有·h=S_△ABD·A₁O，

∴h=·A₁O=，

    即点B₁到平面A₁ADD₁的距离等于.

（3）存在这样的点P，连结B₁C.

∵A₁B₁ABDC，

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形.

∴A₁D∥B₁C.

    在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连结BP，

∵B₁BC₁C，∴B₁BCP.

∴四边形BB₁CP为平行四边形.

∴BP∥B₁C，∴BP∥A₁D.

    则有BP∥平面DA₁C₁.