Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E为AC的中点．
（I）若AB=2，AA1=

2

，求点A到平面BEC₁的距离；
（Ⅱ）当

A1A

AB

为何值时，二面角E-BC₁-C的正弦值为

10

5

？

Answer 1

分析：（I）由题意及正三棱锥的特点及点E为AC的中点可以得到BE垂直于平面ACC₁A₁，所以要求点A到平面BEC₁的距离，利用三棱锥的等体积法即可求解；
（II）由于要求

A1A

AB

的值为何时，使得二面角E-BC₁-C的正弦值为

10

5

，不妨假设比值为x，利用二面角的值求解出x的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意画出图形为：（即点A到平面的距离为h）

∵三棱锥为正三棱锥，且点E为AC的中点，∴BE⊥平面ACC₁A₁
又∵AB=2，AA₁=

2

，∴BE=

3

，
对于三棱锥A-BEC₁的体积为：

1

3

•

1

2

•BE•EC1•h=

1

3

•

1

4

2

• 2•

3

?h=

6

3

故点A到平面BEC₁的距离为

6

3

．

（II）由题意画图如下：

由（I）可以知道平面BEC₁与平面ACC₁A₁垂直且交线为EC₁，
所以在平面ACC₁A₁中过点C作CM⊥EC₁，有三垂线定理可以做出已知的二面角的平面角为∠CNM，
不妨假设AB=1，则A₁A=x，在直角△ECC₁中利用三角形的面积相等可以得到：CM=

1 2 x

1 4 +x2

，
在直角三角形BCC₁中同理可得：CN=

x

1+x2

，
而在直角三角形CMN中sin∠CNM=

CM

CN

= 

1 2 x

1 4 +x2

 ×

1+x2

x

=

10

5

?x=1或x=-1（舍）
所以当

A1A

AB

=1时，使得二面角E-BC₁-C的正弦值为

10

5

；
故答案为：比值1．

点评：此题重点考查了学生的空间想象能力，正三棱锥的特点及利用三棱锥的等体积法求距离，另外还考查了利用三垂线定理作出二面角的平面角及利用假设建立比值的等式，然后求解的方程的思想．