Question

设函数f(x)=alnx+

ax2

2

-2x，a∈R．
（1）当a=1时，试求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数f（x）在区间[1，e]上单调递增；
（2）求导函数，再分类讨论．分a＜0、a=0、a≥1、0＜a＜1，研究函数的单调区间．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=1时，f（x）=1nx+

x2

2

-2x，因为f′（x）=

1

x

+x-2=

(x-1)2

x

≥0，
所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，
则当x=e时，函数f（x）取得最大值f（e）=1+

e2

2

-2e．
（2）求导函数，可得f′（x）=

ax2-2x+a

x

．
当a=0时，因为f′（x）=-2＜0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当a＞0时，
①当△=4-4a²≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；…（9分）
②当△=4-4a²＞0时，即0＜a＜1时，由f′（x）＞0解得，0＜x＜

1- 1-a2

a

，或x＞

1+ 1-a2

a

．
由f′（x）＜0解得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．
所以当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（0，

1- 1-a2

a

）上单调递增；在

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）
上单调递减，（

1+ 1-a2

a

，+∞）单调递增．
当a＜0时，因为f′（x）＜0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确利用导数是关键．