Question

当x∈（0，1）时，不等式

1

x

+

4

1-x

≥m恒成立，则实数m的最大值为

9

．

Answer 1

分析：要使不等式

1

x

+

4

1-x

≥m在（0，1）上恒成立，只需

1

x

+

4

1-x

的最小值大于等于m即可，然后利用基本不等式求出

1

x

+

4

1-x

的最值，即可求出m的取值范围，从而求出所求．

解答：解：∵x∈（0，1），
∴1-x∈（0，1），
∵x+（1-x）=1，
∴

1

x

+

4

1-x

=（

1

x

+

4

1-x

）[x+（1-x）]=5+

1-x

x

+

4x

1-x

≥5+2

1-x x × 4x 1-x

=9，
当且仅当

1-x

x

=

4x

1-x

，即x=

1

3

时取等号，
∴m≤9，即实数m的最大值为9．
故答案为：9．

点评：本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．