Question

已知函数f（x）=1nx--2x
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（3）若a=-时，关于x的方程f（x）=-x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数的导数f'（x），根据题意解关于a的等式f'（2）=0，即可得到实数a的值；
（2）由题意，不等式f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，等价转化为a≤在（0，+∞）内恒成立，求出右边的最小值为-1，即可得到实数a的取值范围；
（3）原方程化简为x²-x+lnx-b=0，设g（x）=x²-x+lnx-b（x＞0），利用导数研究g（x）的单调性得到原方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b的不等式组并解之，即可得到实数b的取值范围．
解答：解：（1）f'（x）=-ax-2=-（x＞0）
∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f'（2）=0，即=0，解之得a=-（经检验符合题意）
（2）由题意，得f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
即ax²+2x-1≤0在（0，+∞）内恒成立，
∵x²＞0，可得a≤在（0，+∞）内恒成立，
∴由=（-1）²-1，当x=1时有最小值为-1，可得a≤-1
因此满足条件的a的取值范围国（-∞，-1]
（3）a=-，f（x）=-x+b即x²-x+lnx-b=0
设g（x）=x²-x+lnx-b，（x＞0），可得g'（x）=
列表可得

∴[g（x）]_极小值=g（2）=ln2-b-2；[g（x）]_极大值=g（1）=-b-
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，且g（4）=2ln2-b-2
∴，解之得ln2-2＜b≤-
点评：本题给出含有对数的基本初等函数，讨论函数的极值与单调性，并依此探求关于x的方程有解的问题．着重考查了导数在研究函数的单调性、求函数的极值与最值等方面的应用，考查了数形结合思想与逻辑推理能力，属于中档题．