题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$
（1）写出f（x）的单调递增区间，并证明．
（2）在f（x）的单调递增区间上，求f（x）的反函数f ^--1（x）．

解：（1）f（x）的单调递增区间（-1，3]．
证明：设3≥x₂＞x₁＞-1，f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，
∴0＜ $\text{[math]}$ ＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-1，3]上是增函数．
（2）由于f（x）的单调递增区间为（-1，3]上，可得 0＜f（x）≤2，
∵f（x）= $\text{[math]}$ ，
∴7+6x-x²=4^y，（x-3）²=16-4^y，
∴x=3- $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的反函数f ^--1（x）=3- $\text{[math]}$ （ 0＜x≤2）．
分析：（1）f（x）的单调递增区间（-1，3]，设3≥x₂＞x₁＞-1，化简f（x₁）-f（x₂）的解析式，判断符号小于零，可得f（x）在（-1，3]上是增函数．
（2）由于f（x）的单调递增区间为（-1，3]上，可得 0＜f（x）≤2．由原函数的解析式求得 x=3- $\text{[math]}$ ，从而求得反函数f ^--1（x）．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，求一个函数的反函数的方法，注意反函数的定义域是原函数的值域，属于中档题．