Question

已知函数f(x)=m(x+

1

x

)-2的图象与函数h(x)=

1

4

(x+

1

x

)+2的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）若g(x)=f(x)+

a

4x

，求g（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）关于原点对称的函数，根据与函数h(x)=

1

4

(x+

1

x

)+2是同一个函数，可求出m的值；
（2）先求出g（x）的解析式，然后讨论a+1的符号，以及

a+1

与区间[1，2]的位置关系，根据函数单调性以及基本不等式即可求出函数g（x）在区间[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）函数f(x)=m(x+

1

x

)-2关于原点对称的函数是-y=-m(x+

1

x

)-2即y=m(x+

1

x

)+2，
∴y=m(x+

1

x

)+2与函数h(x)=

1

4

(x+

1

x

)+2是同一个函数
∴m=

1

4

．
（2）g(x)=

1

4

(x+

1

x

)-2+

a

4x

=

1

4

(x+

a+1

x

)-2，x∈[1，2]
∴当a+1≤0即a≤-1时，g（x）_min=g(1)=

1

4

a-

3

2

，
当a+1＞0，即a＞-1
当-1＜a≤0时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，则g（x）_min=g(1)=

1

4

a-

3

2

，
若

a+1

＜2，即0＜a＜3时，g（x）_min=

a+1

2

-2
若

a+1

≥2即a≥3时，g（x）_min=g（2）=

1

8

a-

11

8

．
综上所知：gmin(x)=

1 4 a- 3 2 a≤0 a+1 2 -2 0＜a＜3 1 8 a- 11 8 a≥3

点评：本题主要考查了函数最值的应用，以及利用函数单调性和基本不等式求最值，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．